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Función de excitación Senoidal amortiguada en S.
Aplicando la senoidal exponencialmente amortiguada a una red eléctrica, la respuesta forzada de la corriente se expresa como:
i(t)= Im. e?.t cos(wt+?) = Re (Im.ej?.est)
Se obtiene una respuesta completa cuya parte real es la respuesta real buscada (se puede omitir la notación Re), la solución final de este tipo de problemas consiste en encontrar la amplitud de la respuesta, Im y el ángulo de fase ? de la corriente.
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Función de excitación Senoidal amortiguada en S.
Los pasos básicos a seguir del método de solución son:
Caracterizar el circuito por medio de un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales de lazo o de nodo.
Sustituir las funciones de excitación dadas y las respuestas forzadas supuestas en forma compleja en las ecuaciones.
Realizar las integrales y derivadas indicadas.
En todas las ecuaciones cada termino tendrá el factor est , se divide todo entre este factor para tenerlo en el dominio de la frecuencia.
Una vez realizados los anteriores pasos, las ecuaciones integro-diferenciales se transforman en algebraicas y su solución es simple.
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Ejemplo: Frecuencia Compleja
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Ejemplo: Frecuencia Compleja,continuación…
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Ejemplo: Frecuencia Compleja,continuación…
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Ejemplo: Frecuencia Compleja,continuación…
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EjerciciosFrecuencia Compleja.
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Definición Transformada de Laplace.
La Transformada de Laplace unilateral (un solo lado, t>0) de una función f(t), esta dada por la expresión:
La Transformada Inversa de Laplace se denota como:
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Transformada de Laplace de funciones elementales.Función Escalón Unitario, u(t).
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Función Impulso unitario, ?(t).
La función ?(t) es cero excepto en t = 0, donde se hace infinita. Tiene área unitaria.
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Función exponencial, e-?t.
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Funciones rampa, t.u(t) y t.e-?tu(t).
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Tabla de parejas de Transformada de Laplace.
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Transformadas de Laplace Operacionales
Multiplicación por una Constante:
Suma y Resta:
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Transformadas de Laplace Operacionales
Diferenciación:
La derivación en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación de F(s) por S y luego la resta del valor inicial de f(t), f(0-).
La transformada de Laplace de la segunda derivada de f(t) será:
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Transformadas de Laplace Operacionales
Integración:
La Integración en el dominio del tiempo corresponde dividir S en el dominio de S.
Traslación en el dominio de la frecuencia:
La traslación en el dominio de la frecuencia corresponde a una multiplicación por una exponencial en el domino del tiempo.
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Tabla Transformadas de Laplace operacionales.
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Teoremas de valor inicial y valor final.
Los Teoremas de valor inicial y valor final permiten determinar a partir de F(s) el comportamiento de f(t) en cero e infinito (? ). De este modo se pueden comprobar los valores inicial y final de f(t) para ver si concuerdan con el comportamiento conocido del circuito, antes de hallar la Transformada Inversa de F(s).
Teorema de valor inicial:
Teorema de valor final:
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EjerciciosTransformada de Laplace.
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Impedancia Z(s) y Admitancia Y(s)
Para realizar el análisis de circuitos, directamente en el dominio de la variable compleja s, con funciones de excitación y respuestas forzadas complejas, es necesario conocer los términos de la impedancia o admitancia expresados en s.
Así:
V(s)= Z(s).I(s)
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Impedancia y Admitancia en s,para un Resistor.
En el dominio del tiempo, v(t) = Ri(t). Aplicando la Transformada de Laplace, la razón del voltaje con la corriente es:
V(s) = I(s)R
Z(s)= V(s)/I(s) = R
La Admitancia es:
YL(s)= I(s)/V(s) = 1/R
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Impedancia y Admitancia en s,para el Inductor.
La razón del voltaje con la corriente en el inductor, en el dominio del tiempo es v(t)=L(di(t)/dt). Aplicando la Transformada de Laplace se obtiene:
V(s)= L[s.I(s) – i(0-)]
Considerando que la energía inicial almacenada en el Inductor es nula:
V(s)= sL.I(s)
ZL(s)= V(s)/I(s) = s.L
La Admitancia es:
YL(s)= I/V = 1/s.L
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Impedancia ZL(s) para un Inductor.
(a) Inductor en el domino del tiempo. (b) Modelo completo para un Inductor en el dominio de la frecuencia, consiste de una impedancia sL y una fuente de voltaje –Li(0-) que incorpora el efecto de condiciones iniciales diferentes de cero en el elemento. (c) Modelo alternativo para el Inductor en el dominio de la frecuencia, consistente de una admitancia 1/sL y una fuente de corriente i(0-)/s.
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Impedancia y Admitancia en s,para el Condensador.
La razón del voltaje con la corriente en el inductor, en el dominio del tiempo es i(t)=C(dv(t)/dt). Aplicando la Transformada de Laplace se obtiene:
I(s)= C[s.V(s) – v(0-)]
Considerando la condición inicial cero en el capacitor:
I(s)= sC.V(s)
ZC(s)= V(s)/I(s) = 1/s.C
La Admitancia es:
YC(s)= I(s)/V(s) = s.C
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Impedancia ZC(s) para un Capacitor.
(a) Capacitor en el domino del tiempo. (b) Modelo en el dominio de la frecuencia, de un Capacitor con tensión inicial de v(0-). (c) Modelo equivalente obtenido a través de una transformación de fuente.
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Impedancias y Admitancias en la variable compleja s, para R, L y C.
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Función de Transferencia.
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Función de Transferencia.
41
Propiedades de la Función de Transferencia.
La Función de Transferencia, H(s), es independiente de la entrada, siendo solo función de los elementos del circuito y sus interconexiones.
A partir del conocimiento de la Función de Transferencia y de la función de entrada, es posible determinar la respuesta o salida.
La magnitud de Salida es la magnitud de la entrada multiplicada por la amplitud de la Función de Transferencia. Asimismo, la fase de la salida es la fase de la entrada más la fase de la función de la red.
Si hay dos o más entradas presentes, puede utilizarse Superposición para definir una Función de Transferencia que relacione la salida con cada entrada individual, haciendo cero las otras entradas.
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Ejemplo: Función de Transferencia.
Para el circuito RLC en serie de la siguiente figura, obtenga las funciones de Transferencia:
H(s) = I(s)/Vg(s),
H(s) = Vo(s)/Vg(s),
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Solución: Función de Transferencia.
(a)
(b)
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Polos y Ceros
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Función de Transferencia en términos de Polos y Ceros
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Identificación de Polos y Ceros
Los números z1, z2,…,zm se llaman Ceros de la Función de Transferencia por que son valores de s, para los cuales la función vale cero.
Los números p1, p2,…,pn se llaman Polos de la Función de Transferencia por que son valores de s, para los cuales la función se hace infinita.
Los valores de los Polos y Ceros, junto con los valores de los coeficientes constantes an y bm determinan el comportamiento de la Función de Transferencia.
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Ejemplo: Función de Transferencia,Polos y Ceros.
Para el circuito de la siguiente figura, determine:
a) La expresión numérica correspondiente a la función de Transferencia H(s) = Vo(s)/Ig(s), en forma polinomial.
b) La Función de Transferencia en términos de Polos y Ceros.
c) Proporcione el valor numérico de cada polo y cero de H(s).
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Solución: Función de Transferencia,Polos y Ceros.
(a)
(b)
(c)
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Polos y Ceros en el Plano Complejo S.
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Asociación entre forma funcional de una respuesta con regiones en el Plano S.
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Transformada Inversa de Laplace.
Un Sistema descrito por ecuaciones diferenciales lineales, en el dominio del tiempo, puede transformarse al dominio de la variable compleja,
S = ? + jw, utilizando la Transformada de Laplace.
Luego, La respuesta del Sistema, en el dominio del tiempo, a una entrada dada puede hallarse por medio de la Transformada Inversa de Laplace, aplicando el Teorema del Residuo para obtenerla.
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Transformada Inversa de Laplace.
Así:
L -1 { Y(s) } = ? Residuos de Y(s)·est
en los polos de Y(s).
Donde, los residuos para cada polo de orden "n" se calculan como:
a_i = 1 _ Lim dn-1 [ (S – So)n·Y(s)·est] (n-1)! SàSo dSn-1
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Transformada Inversa de Laplace.
Se podrá utilizar este método si Y(s) = N(s) / D(s), es una función Racional Impropia, dado que el grado de D(s) sea mayor al menos en uno (1) al grado de N(s).
Si el polo es Simple ( n=1) el cálculo del residuo se puede realizar como:
a_i = Lim (S – So)·Y(s)·est
SàSo
Identidad de Euler:
(a + jb)·e(x + jy)t + (a – jb)·e(x – jy)t =
2·a·Cos(|y|t)·ex·t – 2·|b|Sen(|y|t)·ex·t
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Ejemplos, Transformada Inversa de Laplace.
Para cada una de las siguientes Funciones de Transferencia, obtenga la respuesta y(t), ante una entrada escalón unitaria u(t).
a)
b)
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Solución Ejemplo a): Transformada Inversa de Laplace.
Residuo en el polo simple s = 0
y(t)= L -1{Y(s)} = ? residuos de Y(s).est en los polos de Y(s).
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Solución Ejemplo a): Transformada Inversa de Laplace.
Residuo en el polo simple s = -2
Residuo en el polo simple s = -6
Luego,
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Solución Ejemplo b): Transformada Inversa de Laplace.
Residuo en el polo simple s = 0
y(t)= L -1{Y(s)} = ? residuos de Y(s).est en los polos de Y(s).
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Solución Ejemplo b): Transformada Inversa de Laplace.
Residuo en el polo simple s = -0.63 + j0.6
Residuo en el polo simple s = -0.63 – j0.6
59
Solución Ejemplo b): Transformada Inversa de Laplace.
Luego,
Aplicando la Identidad de Euler:
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EjerciciosAnálisis de Circuitos en el dominio de S.
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